水平線までのおよその距離を計算する方法を調べてみた

大雑把に水平線までの距離を計算したくなったので考えたり調べたりしてみた。
それで計算してみたらだいたいこんな感じになった。

水平線までの距離を d [m] 、目の高さを h [m] として、
地球の半径は地球の円周の長さが 4.0 × 10⁴ [km] だから

 2πr = 4.0 × 10⁴ × 10³
      r = 4.0 × 10⁴ × 10³ / 2π
        = 2.0 × 10⁷ / π

なので r = 6.37×10⁶ [m] 、地球の直径 2r = 1.27×10⁷ [m] となる。
目の高さ h [m] での水平線までの距離 d [m] は

d² + r² = (r + h)²

d = sqrt{ (2r + h) h }

となる。目の高さ h は地球の半径 r に対してとても小さいので (2r + h) の h は実用上は無視できるほど小さくなるので d = sqrt{ 2rh } として問題なし。
数値を入れてみると次の通り。

d = sqrt{ 12.7 × h × 10⁶ } = sqrt{ 12.7 × h } × 10³ [m]

もっと精度を上げると d = 3568 × sqrt{ h } [m] になるが、実際には大気の屈折でもっと遠くまで見えてしまうらしい。
だから d = sqrt{ 13 × h } × 10³ [m] で大雑把な計算としては十分なようだ。